Calcul d'affixe, parallélogramme - Corrigé

 Énoncé

1. Lire les affixes des points \(\text A , \text B , \text C\) et \(\text D\) représentés dans le plan complexe ci-dessous.

2. Calculer les affixes des points \(\text I ,\text J , \text K\) et \(\text L\)  milieux respectifs des segments \([\text A\text B] , [\text B\text C] , [\text C\text D]\) et \([\text D\text A]\) .

3. Montrer que le quadrilatère \(\text I\text J\text K\text L\) est un parallélogramme.

Solution

1. Par lecture graphique : \(z_\text A=-4-i ; z_\text B=-1-4i ; z_\text C=2\) et  \(z_D=-1+i\) .

2.

• \(z_\text I=\dfrac{1}{2}(z_\text A+z_\text B)=\dfrac{1}{2}(-4-i-1-4i)=\dfrac{1}{2}(-5-5i)=\dfrac{-5}{2}-\dfrac{5}{2}i\)
  
• \(z_\text J=\dfrac{1}{2}(z_\text B+z_\text C)=\dfrac{1}{2}(-1-4i+2)=\dfrac{1}{2} \times (1-4i)=\dfrac{1}{2} -2i\)
  
• \(z_\text K=\dfrac{1}{2}(z_\text C+z_\text D)=\dfrac{1}{2}(2-1+i)=\dfrac{1}{2}(1+i)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i\)
  
• \(z_\text L=\dfrac{1}{2}(z_\text D+z_\text A)=\dfrac{1}{2}(-1+i-4-i)=\dfrac{1}{2}(-5)=-\dfrac{5}{2}\)
  

3.  On note \(\text M\) le milieu de \([\text I\text K]\) et \(\text N\) le milieu de \([\text J\text L]\) . On a alors :

•   \(z_\text M=\cfrac{1}{2}(z_\text I+z_\text K)=\cfrac{1}{2}\left(\cfrac{-5}{2}-\cfrac{5}{2}i+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2}i\right)=\cfrac{1}{2}\left(- \cfrac{4}{2}+- \cfrac{4}{2} i \right)=-1-i\)
  
•   \(z_\text N=\cfrac{1}{2}(z_\text J+z_\text L)=\cfrac{1}{2}\left(\cfrac{1}{2}-2i-\cfrac{5}{2}\right)=\cfrac{1}{2}\left(-2-2i\right)=-1-i\)
  

donc \(z_\text M=z_\text N\) , donc les points \(\text M\) et \(\text N\) sont confondus. Par conséquent, les segments \([\text I\text K]\) et \([\text J\text L]\) ont le même milieu, donc \(\text I\text J\text K\text L\) est un parallélogramme.